Halaman
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2RASIO TRIGONOMETRIMATEMATIKA UMUM KELAS XPENYUSUNEntis Sutisna, S.Pd.SMA Negeri 4 Tangerang
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN....................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...................................................................................................................................................3GLOSARIUM..................................................................................................................................................4PETA KONSEP..............................................................................................................................................5PENDAHULUAN..........................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. DeskripsiSingkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................6E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1............................................................................................................8Ukuran Sudut dan Konsep Dasar Sudut..........................................................................................8A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................8C.Rangkuman...............................................................................................................13D.Latihan Soal..............................................................................................................14Pembahasan Latihan Pembelajaran 1.........................................................................15E.PenilaianDiri............................................................................................................16KEGIATAN PEMBELAJARAN 2..........................................................................................................17Rasio/Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku..............................................17A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................17B.Uraian Materi............................................................................................................17C.Rangkuman...............................................................................................................27D.Latihan Soal..............................................................................................................28Pembahasan Latihan Soal Pembelajaran 2..................................................................................29E.Penilaian Diri............................................................................................................31EVALUASI....................................................................................................................................................32Kunci Jawaban Evaluasi........................................................................................................................34DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................................38
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMPerbandingan sinus: Perbandingan sisi dihadapan sudut dengan hipotenusa.Perbandingan cosinus:Perbandingan sisi disamping sudut dengan hipotenusa.Perbandingan tangen: Perbandingan sisidihadapan sudut dengan sisi disamping sudut.Perbandingan cosecan: Perbandingan hipotenusa dengan sisi dihadapan sudut.Perbandingan secan: Perbandingan hipotenusa dengan sisi disampingsudut.Perbandingan cotangen: Perbandingan sisi disampingsudut dengan sisi dihadapan sudut.Sudut istimewa: Sudut tertentu yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPSegitiga Siku-sikuPerbandingan Sisi-sisi dalam Segitigasin 𝛼cos 𝛼tan 𝛼sec 𝛼cosec 𝛼cot 𝛼Segitiga Siku-sikuMasalah OtentikKonsep Dasar Sudut
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas: XAlokasi Waktu: 8 JPJudul Modul: Rasio Trigonometri B. Kompetensi Dasar3. 7 Menjelaskan rasio trigonometri (sinus, cosinus,tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku.4.7 Menyelesaikanmasalah rasio trigonometri (sinus, cosinus,tangen, cosecan, secan, dancotangen) pada segitiga siku-siku.C. Deskripsi Singkat MateriSalam jumpa melalui pembelajaran matematika dengan materi Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku. Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk memahami materi Trigonometri di kelas X. Melalui modul ini Kalian diajak untuk memahami konsep Ukuran Sudut, Perbandingan Trigonometri dan Menyelesaikan Masalah Kontekstual menggunakan Rasio Trigonometri. Modul ini terdiri atas 2 bagian proses. Kalian bisa mempelajari modul ini dengan tahapan berikut:Pembelajaran1 akan membahas tentang Ukuran Sudut dan PengenalanRasioTrigonometriPembelajaran 2 akan membahas tentang Rasio Trigonometri danMenyelesaikan Masalah Kontekstual menggunakan Rasio Trigonometri.D. Petunjuk Penggunaan ModulSupayaKalian berhasil mencapai kompetensi dalam mempelajari modul ini maka ikuti petunjuk-petunjuk berikut:a.Petunjuk Umum:1)Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan peta kedudukan modul ini akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul-modul yanglain.2)Untuk mempelajarimodul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materiberikutnya.3)Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihanyang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yangterkait.4)Kerjakan soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yangterkait.5)Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada gurupada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapat pengetahuantambahan.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7b.Petunjuk Khusus1)Dalam kegiatan Pembelajaran Kalian akan mempelajari bagaimana memahami konsep dan menyelesaikan masalah Rasio Trigonometri2)Perhatikan gambar-gambar dan uraian dengan seksama agar dapat memahami, menentukan dan menggeneralisasikan Rasio Trigonometri serta mampu menerapkan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitandengan hal tersebut. 3)Pahamilah contoh-contoh soal yang ada dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Kerjakanlah soal uji kompetensidengan cermat agar Kalian bisa lebih pahamdan terampil.E. Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatanpembelajaran dan didalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama:Ukuran Sudut dan Konsep Dasar SudutKedua: Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-siku dan Menyelesaikan Masalah Kontekstual menggunakan Rasio Trigonometri
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Ukuran Sudut dan Konsep Dasar SudutA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan Kaliandapat:1.Memahamisatuan ukuran sudut dalam radian dan derajat,2.Mengubah satuan ukuran sudut dari bentuk radian ke bentuk derajat dan sebaliknya.B.Uraian MateriGambar : Pengukuran tinggi gedungSumber : https://images.app.goo.gl/AQcHMTjeBkfogGEy6hbcwX8Pernahkah Kalian melihat seorang sedang mengukur jalan yang akan diperbaiki atau mengukur ketinggian sebuah gedung?Tahukah kalian bagaimana seorang Nakhoda kapal memperkirakan jarak antara kapal dengan pelabuhan atau pantai atau dengan kapal lain sehingga kapalnya tidak bertabrakan?Bagaimana seorang ahli kelautan mengukur kedalaman Samudra, ketinggian ombak atau seorang Astronom mengukur jarak bintang? Para ahli tersebut bekerja menggunakan perhitungan Trigonometri. Aktivitas pengukuran tersebut hanya sebagiandari penerapantrigonometri dalamkehidupan nyata.Secara sederhana, menggunakan trigonometri berarti melakukanpenghitungan yang berkaitan dengan sudut. Trigonometri sering digunakan oleh surveyor, astronot, ilmuwan, enginer, bahkan juga digunakan untukkegiatan investigasi. Dalam bidang fisika, teknik, dan kedokteran, trigonometri mengambil peranan penting dalam pengembang teknologi kedokteran dan teori-teori fisika dan teknik. Dalam Matematika, trigonometri digunakan untuk menemukan relasi antara sisi dari sudut pada suatu segitiga.Setelah membaca paparan di atas, Kalian bisa mengetahui betapa luasnya penggunaan Trigonometri dalam kehiduapan nyata. Bagaimana, menarikkan? Mudah-mudahan Kalian termotivasi untuk mempelajari lebih dalam Trigonometri, khususnya belajar matematika sebagai tarunya ilmu pengetahuan.Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)Sesuatu yang bisa diukur itu memiliki satuan ukuran untuk mengukurnya. Begitu pula dengan sudut. Satuan sudut yang paling sering kita temui dandipergunakan adalah derajat(dilambangkan dengan “o”). Namun, adasatuan lain yang dapat digunakan untuk mengukur satuan sudut, yaitusatuan radian(dilambangkan dengan “rad”).
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Kalian pasti masih ingat pelajaran waktu SMP bahwa besar sudut dalam satu putaran penuh adalah 3600atau 10didefinisikan sebagai besar sudut yang dibentuk oleh 1360putaran penuh.Satuan derajat ini berasal dari peradaban manusia yang mengaitkannya dengan musim yang dipengaruhi oleh perputaran bumi terhadap matahari. Dalam 1 (satu) kali revolusibumi menyelesaikannya dalam 360 hari.Coba Kalian cermati gambar berikut: Gambar 1.1 Dari gambar 1.1 didapat besar sudut berikut:Kalian dapat mendeskripsikan beberapa satuan putaran yang lain.Selain ukuran derajat, kita juga mengenal ukuran radian. satu radianatau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jarilingkaran berjari-jari r dan membentuk busur sepanjang r juga atau besarsudut pusat dari suatu lingkaran yang panjang busur dihadapan sudut tersebutadalah sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.Panjangbusur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikanbesarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya sudut telahdalamsatuan radian.1360putaran=1360.3600=1014putaran=14.3600=90012putaran=12.3600=1800112putaran=112.3600= 30018putaran=18.3600 =450Gambar 1.2
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Hubungansatuan derajat dengan satuan radian adalah bahwa satu putaranpenuh sama dengan 2π radian. Untuk lebih jelasnya, dapat kita lihat seperti dibawah ini.Coba Kalian perhatikan hubungan secara Aljabar antara derajat dengan Radian berikut:Tentunya dengan mudah kalian mampu mengubah ukuran sudut yang lain.Untuk lebih memahami masalah hubungan antara derajat dengan radian, coba Kalian perhatikan contoh-contoh berikut:Contoh 1 :Selesaikansoal-soal ukuran sudut berikut:1.14𝜋rad = ....putaran= ....02.110putaran =...rad =...03.1350= ...rad = ... putaran4.Berapa radian sudut yang dibentuk jarum jam pada pukul 11.00?Jawab:1.1 putaran = 3600= 2π rad, jadi 12putaran = 1800= π. Oleh karena itu 14𝜋rad = 14×12putaran = 18putaran = 18×3600= 450.2.Karena 1 putaran = 2π rad, maka 110×2π rad. = 15𝜋rad = 15×1800= 360Dari gambar di atas, BesarsudutPOQ=PanjangbusurPQrradian=rrradian=1radianSatu putaran penuh = 3600= 2π radian12putaran= 12×3600= 1800= 12×2π radian = π radian1360putaran= 1360×3600= 10= 2𝜋360= 𝜋180radianMaka didapat1 rad =180𝜋10≈57,3014putaran=14×360°=90°⇔90°=90×𝜋180𝑟𝑎𝑑=14𝜋𝑟𝑎𝑑13putaran=13×360°=120°⇔120°=120×𝜋180𝑟𝑎𝑑=13𝜋𝑟𝑎𝑑12putaran=12×360°=180°⇔180°=180×𝜋180𝑟𝑎𝑑=12𝜋𝑟𝑎𝑑23putaran=23×360°=240°⇔240°=240×𝜋180𝑟𝑎𝑑=23𝜋𝑟𝑎𝑑34putaran=34×360°=270°⇔270°=270×𝜋180𝑟𝑎𝑑=34𝜋𝑟𝑎𝑑
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN113.135 = 135 ×𝜋180rad = 34𝜋rad = 34×12putaran = 38putaran4.Sudut yang terbentuk pada pukul 11.00 adalah 300. Jadi 300= 30 ×𝜋180rad = 16𝜋rad.KonsepDasar SudutKalian sudah sering mendengar kata "sudut". Sebenarnya apa yang dimaksud dengan sudut? Untuk memahami masalah sudut, coba Kalian lakukan Langkah-langkah berikut:1.Lukissinar garis (misalsinar AB)2.Putar sinar AB dengan pusat A sampai terjadi sinargaris AC, sehingga terbentuk sudut BAC3.Berinama sudut BAC = αDari proses tersebut Kalian telah membuat sudut ∠𝐵𝐴𝐶seperti tampak pada gambar.Dalam kajian geometris, sudut didefnisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaranuntuk membentuk sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.Gambar 1.3 Sudut berdasarkan arah putaran.Dalam bidangkoordinat kartesius, jika sisi awal suatu garis berimpit dengan sumbu 𝑥dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius itu, disebut sudutstandar (baku). Jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu padakoordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 0°,90°,180°, 270°dan360°.Sebagai catatan, bahwa untuk menyatakan suatu sudut, lazimnya digunakan hurufYunani, seperti, α (alpha), β (betha), γ (gamma), dan θ (tetha), dan juga digunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D.Cermati gambar di bawah ini.Jika sudut yang dihasilkan sebesar α (sudut standar), maka sudut βdisebut sebagaisudut koterminal, sehingga α + β = 3600, seperti gambar berikut.a.Sudut bertanda positifb.Sudut bertanda negatif
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12Sudut-sudut koterminal adalah dua sudut standar, memiliki sisi-sisi akhir (terminal side) yang berimpit.Untuk lebih memahami, cobakalian amati contoh-contoh berikut:Contoh 2 :Gambarkanlah sudut-sudut standar di bawah ini, dan tentukan posisi setiap sudutpadakoordinatkartesius.a) 60° b) –45° c) 120° d) 600°Jawab :a.b.MDefinisi :Sudut standar dalam sudut koterminalBesar sudut pada setiap kuadranSisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir OA terletak di kuadran ISisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir OA terletak di kuadran IV
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13c.Nd.C.Rangkuman1.Ada dua ukuran untuk mengukukur sudut, yaitu derajat dan radian.2.10= 1360putaran.3.1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jarilingkaran berjari-jari r dan membentuk busur sepanjang r juga.4.Hubungan satuan derajat dengan satuan radian adalah bahwa satu putaranpenuh sama dengan 2π radian.5.1 rad=180𝜋10.6.Sudut didefnisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side).7.Sudut standar (baku) adalah sudut yang sisi awalnya berimpit dengan sumbu x dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius.8.Sudut-sudut koterminal adalah dua sudut standar, memiliki sisi-sisi akhir (terminal side) yang berimpit.Sisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir OP terletak di kuadran IISisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir OR terletak di kuadran III
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14D.Latihan Soal Untuk meningkatkan pemahaman, coba Kalian kerjakan Latihan soal berikut kemudiancocokkan jawaban Kalian dengan kunci jawaban padabagian akhir kegiatan pembelajaran. Jangan melihat kunci dulu sebelum Kalian mengerjakan.1.Untuk setiap besar sudut di bawah ini, ubahlah ke bentuk satuan derajat dan radian.a.13putaranb.25putaranc.310putarand.4 putaran2.Nyatakanlahsudut berikut ke dalam satuan radian.a.1200b.21003.Nyatakansudut berikut ke dalam bentuk derajat.a.13𝜋𝑟𝑎𝑑b.79𝜋𝑟𝑎𝑑c.34𝜋𝑟𝑎𝑑d.1112𝜋𝑟𝑎𝑑4.Berapa radian jarak putar jarum menit sebuah jam apabila ia berputar selamaa.45 menitb.30 menitc.15 menitd.1 menit
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15PembahasanLatihanPembelajaran1NoPembahasanSkor1.a.13putaran = 13𝑥3600= 1200.13putaran = 13𝑥2𝜋rad= 23𝜋radb.25putaran = 25x 3600=144025putaran = 25x 2 π rad = 45𝜋radc.310putaran = = 310x 3600=1080310putaran = 310x 2 π rad = 35𝜋radd.4 putaran = 4 x 3600= 14400= 8π rad11111122.a.13𝜋𝑟𝑎𝑑= 13x 1800= 600b.79𝜋𝑟𝑎𝑑= 79x 1800= 1400c.34𝜋𝑟𝑎𝑑= 34x 1800= 1350d.1112𝜋𝑟𝑎𝑑= 1112x 1800= 165022223 a.1200= 120 x 𝜋180= 23𝜋radb.2100= 210 x 𝜋180= 76𝜋r 224Satuputaranjarumjam=12jam=12(60)=720menitsebesar2 π radian.a.Sudutputaran45menit=45720(2)=1/8radb.Sudutputaran30menit=30720(2)=112radc.Sudut putaran15 menit = 15720(2)=124radd.Sudut putaran 1 menit = 1720(2)=1360rad22222Skor maksimum30Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. RumusTingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jikatingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran. E.PenilaianDiriBerilah tanda Vpada kolom “Ya” jika Kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudah memahami tentang ukuran sudut2.Saya sudah dapat mengubah sudut satuan derajat ke satuan radian3.Saya sudah dapat mengubah sudut satuan radian ke satuan derajat.4.Saya sudah memahami hubungan derajat dan radian.5Saya sudah memahami posisi sudut pada koordinat cartesiusCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka kaliandapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17KEGIATAN PEMBELAJARAN 2Rasio/PerbandinganTrigonometriPada Segitiga Siku-SikuA.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 2 ini kalian diharapkan dapat:1.Memahami rasio/perbandingantrigonometri (sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan dan cotangen)pada segitiga siku-siku.2.Menghitung rasio/perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan dan cotangen)pada segitiga siku-siku.3.Menyelesaikanmasalah menggunakan rasio/perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen).B.Uraian MateriJikaKalian perhatikan lingkungan sekitar kita, banyak benda atau bangunan memiliki sudut atau pojok tertentu. Bentuk-bentuk sudut dari benda di alam terbentuk dengan sendirinya, seperti sudut dahan dengan ranting, lekukan batuan, dan sebagainya. Bentuk sudut ada yang sengaja dirancangseperti penggaris berbentuk segitiga, sudut antara dua ruas jalan yang bersilangan, sudut yang terbentuk antara jarum pendek dan jarumpanjang dari sebuah jam dinding, bentuk permukaan buku. Model atap rumah biasanya dibuat dengan sudut atau pojok sesuai kebutuhan. Titik sudut sebuah buku biasanya tegak lurus, sedangkan atap rumah sudutnya lebih kecil. Ilmu ukur sudut dipelajari secara khusus dalam trigonometri yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut dalam suatu segitiga dan sifat-sifat sertaaplikasinya dalam berbagai bidang seperti penaksiran tinggi bangunan atau pohon,jarak mendatar puncak gunung terhadap lembahnya, dan sebagainya. Pada peradaban kehidupan kita, kajian mengenai trigonometri sudah tercermin dari berbagai ikon kehidupan mereka. Misalnya, para arsitekturnya, sudah menerapkan kesetimbangan bangunan pada rumah adat yang mereka ciptakan, sebagai contoh rumah adat Dayak. Rumah adat tersebut berdiri kokoh sebagai hasil hubungan yang tepat antarabesar sudut yang dikaitkan dengan panjangsisi-sisinya.Gambar: Rumah Adat Suku Dayak.Sumber : http://www.jualsewarumah.comPadapembelajaran II ini kita akan mempelajari konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18PerbandinganTrigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-SikuPerhatikan gambar. Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku dengan titik sudut siku-siku di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah asatuan, panjang sisi di hadapan sudut B adalah bsatuan, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah csatuan. Pada gambar, diketahui BAC = . Sisi BC = adisebut sisi di depan sudut , sisi AC = bdisebut sisi di samping sudut , dan sisi AB = cdisebut sisi miring (hipotenusa). Dari ketiga sisi segitiga siku-siku ABC tersebut, dapat ditentukan perbandinga-perbandingan trigonometri sebagai berikut.Definisi : Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Sikua.sisi di depan sudut αsinus sisi miringac==b.sisi di samping sudut αcosinus sisi miringbc==c.sisi di depan sudut αtangen sisi di samping sudut αab==d.sisi di samping sudut αco tangen sisi di depan sudut αba==e.sisi miring secan sisi di samping sudut αcb==f.sisi miring cossisi di depan sudut αcecana==Catatan : Untuk selanjutnya, penulisan sinusdan cosinusdisingkat sindan cos, penulisan tangendan cotangendisingkat tan dan cot, penulisan secan dan cosecandisingkat secdan cosec(atau csc).Berdasarkan definisi di atas, dapat diturunkan rumus-rumus dasar trigonometri berikut ini.a.1seccos=d.sincostan=b.1cossinec=e.coscot sin=c.1co ttan =Contoh 1:Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang sisi a= 5satuan dan panjang sisi b= 2 satuan. Jika BAC = , tentukanlah nilai keenam perbandingan trigonometri untuk sudut .Jawab:Nilai cdihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras:c= 2222( 5)25 493ab+ =+ = + = =Jadi, nilai perbandingan trigonometri sudut adalah:51sin533ac= = =22cot555ba= = =acbCAB5a=
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN192cos3bc==3sec2cb==51tan522ab= = =33co sec555ca= = =Contoh 2:Diketahui cos o= 12dan osudut lancip (0o< o< 90o). Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut oyang lain.Jawab:Gambarlah segitiga siku-siku ABC sehingga nilai perbandingan trigonometri cos o= 12Nilai adicari dengan menggunakan teorema Pythagoras:a= 2222214 13cb− = − = − =Jadi, nilai perbandingan trigonometri sudut yang lain adalah:31sin322ac= = =3tan31ab= = =11cot333ba= = =2sec21cb= = =22co sec333ca= = =Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut IstimewaSudut istimewaadalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut yang dimaksud adalah sudut-sudut yang besarnya 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o.Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapatditentukan dengan menggunakan konsep lingkaran satuan seperti pada gambar berikut.Berdasarkan definisi perbandingantrigonometri, diperoleh hubungan:'sin1oPPyyOP= = ='cos1oOPxxOP= = ='tan'oPPyOPx==, dengan syarat x0.Jadi, dalam lingkaran satuan ini koordinat titik P(x, y) dapat dinyatakan sebagai P(cos o, sin o).c=2b= 1CABa1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN201. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0oPerhatikan gambar di samping. Koordinat titik Padalah (1, 0), sehingga (1, 0) = (cos 0o, sin 0o)maka diperoleh:sin 0o= 0cos 0o= 1tan 0o= sin 0001cos0oo==2.Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30oPerhatikan gambar di samping. Jika o= 30o, maka OPQ = 60o, sehingga OPQ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi OP = OQ = PQ = 1, dan PP’ = QP’ = 12atau ordinat y= 12.OPP’ siku-siku di P’, dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hubungan:(OP’)2+ (PP’)2= (OP)2(OP’)2= (OP)2–(PP’)2(OP’)2= 12–(12)2(OP’)2= 31441−=OP’= 31423=OP’ menyatakan absis titik P atau x= 123Jadi, untuk o= 30o,maka koordinat titik Padalah (123,12) = (cos 30o, sin 30o), maka diperoleh:sin 30o= 12, cos 30o= 123, dan tan 30o= 121312sin3013cos3033oo== =3.Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45oPerhatikan gambar di samping. Jika o= 45o, maka OPP’merupakan segitiga sama kakidengan panjang sisi OP = PP’atau x= y. Dengan menggunakan teoremaPythagoras diperoleh hubungan:(OP’)2+ (PP’)2= (OP)2x2+ y2= 12x2= 1 x2= 12
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21x= 1122122==Karena x= y, maka y= 122Jadi, untuk o= 45o,maka koordinat titik Padalah (122,122) = (cos 45o, sin 45o), maka diperoleh:sin 45o= 122, cos 45o= 122, dan tan 45o= 12122sin 451cos 452oo==4.Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 60oPerhatikan gambar di samping. Jika o= 60o, maka OPQmerupakan segitiga sama sisidengan panjang sisi OP = OQ = PQ = 1, dan OP’ = QP’ = 12sehingga absis x= 12. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hubungan:(OP’)2+ (PP’)2= (OP)2(PP’)2= (OP)2–(OP’)2(PP’)2= 12–(12)2(PP’)2= 31441−=PP’= 31423=PP’ menyatakan ordinat titik P atau y= 123Jadi, untuk o= 60o,maka koordinat titik Padalah (12, 123) = (cos 60o, sin 60o), maka diperoleh:sin 60o= 123, cos 60o= 12, dan tan 60o= 12123sin 603cos60oo==5.Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90oPerhatikan gambar di samping. Jika o= 90o, maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada sumbu Y positif.Koordinat titik Padalah (0, 1), sehingga (0, 1) = (cos 90o, sin 90o)maka diperoleh:sin 90o= 1cos 90o= 0tan 90o= sin 901 (tidak didefinisikan)0cos 90oo=
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22Rangkuman Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut IstimewaBesar sudut o0o30o45o60o90osin o0121221231cos o1123122120tan o013313–cot o–311330sec o123322–cosec o–222331Contoh1:Hitunglah:a.tan 30o+ tan 45ob.sec 0o+ sec 45oc.cosec 30 cosec 90sec 0 sec 60oooo++Jawab:a.tan 30o+ tan 45o= 133+ 1 = ()1333+b.sec 0o+ sec 45o= 11cos 0cos 45oo+= 121112+= 212+= 12+c.cosec 30 cosec 90sec 0 sec 60oooo++= 12121111121sin 30sin 901111121cos 0cos 601oooo+++===+++Contoh2:Tunjukkan bahwa:a.sin245o + cos245o= 1b.1 + tan245o= sec245oJawab:a.sin245o + cos245o= (122)2+ (122)2= 12+ 12= 1Jadi, terbukti bahwa sin245o + cos245o= 1b.Bagian ruas kiri:1 + tan245o= 1 + (1)2= 1 + 1 = 2Bagian ruas kanan:sec245o= 2211221112cos 45(2)o== =Ruas kiri = ruas kanan = 2Jadi, terbukti bahwa 1 + tan245o= sec245oSetelahKalian memahami perbandingan trigonometri, mari kita kembangkan pembahasan kita lebih jauh dengan menggunakan perbandingan triogonemetri dalam memecahkan masalah-masalah kontekstual. Untuk menggunakan perbandingan trigonometri dalam
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23memecahkan masalah kontekstual, kalian perlu memperhatikan dan memahami hal-hal berikut:Sudut depresi dan sudut elevasiDalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar istilah “sudut elevasi” dan “sudut depresi”. Sudut elevasiadalahsudutyang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah atas.Sudut depresiadalahsudutyang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah bawah.Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini.Gambar : Sudut depresi dan sudut elevasi.Sumber : https://images.app.goo.gl/NDb3gfmLxwLPenerapan Trigonometri dalam Kehidupan NyataBanyak sekali kita jumpai berbagai hal yang terkait dengan rasio trigonometri. Rasio trigonometri dapat digunakan untuk memecahkan masalah kontekstual yang berhubungan dengan sudut pengamatan, tinggi suatu benda , atau untuk menentukan jarak ke suatu obyek. Rasio trigonometri merupakan salah satu sarana yang dapat digunakan untuk melatih penalaran dalam menyelesaikan permasalahan tersebut.Berikutbeberapa contoh penggunaan trigonometri dalamkehidupan sehari hari :1. Menghitung tinggi bangunan / gunung / pohon/ bukit/ bendaApabila kamu tahu jarak antara kamu dengan benda yang kamu amati dankamu juga tahu sudut elevasi pengamatannya, maka kamu dapat menghitung tinggi dari bangunan yang kamu amati tersebut.Gambar :Menghitung tinggi bangunanSumber : Modul PKB Matematika2. Dalam navigasiPerbandingan trigonometri dapat digunakan di bidang navigasi. Sebagai contoh, rasio trigonometri digunakan untuk menghitung jarak suatu titik terhadap garis pantai.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24Gambar : Menghitung jarak suatu pulau ke bibir pantaiSumber : Modul PKB Matematika3. Dalam bidang oseanografiRasio trigonometri dapat digunakan untuk menghitung ketinggiangelombang laut.Gambar : Menghitung ketinggian gelombang lautSumber : Modul PKB Matematika4. Dalam bidang astronomiTrigonometri sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi, karena ukuran benda-benda langit tidak mungkin diukur pakaipenggaris, pasti dihitung dengan bermain skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat diestimasi ukurannya secara akurat. Rumus trigonometri sudut ganda digunakan untuk nilai-nilai ukuran sisi akibat sudut-sudut yang tidak istimewa.Gambar : Menghitung ketinggian gelombang lautSumber: Modul PKB Matematika
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN255. Dalam bidang teknik sipilPengukuran tanah adalah suatu cabang ilmu alam untuk menentukan posisi ruang dimensi tiga dari suatu tempat pada permukaan bumi. Hasil pengukuran tanah yang diperoleh antara lain digunakan untuk membuatpeta topografi dari bumi untuk menentukan luas wilayah suatu daerah. Keahlian trigonometri seorang surveyor sangat mempermudah pekerjaannya sehinggabeliau tak perlu terjun langsung ke medan-medan sulit.Gambar : Menghitung luas tanahSumber : https://images.app.goo.gl/NJyTnwuvcdej534f7https://images.app.goo.gl/qPnUiJwwHcmah7bJ96. PadaBidang ArsitekturTrigonometribermanfaat dalam menentukan kemiringan atap, beban struktural, efek bayangan matahari dan sudut cahaya terhadap karya arsitektur.Gambar : Menghitung luas tanahSumber : https://images.app.goo.gl/VgrjdSvaMjV5aQPh8Beberapa keterampilan yang perlu kalian miliki untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah adalah:1. Memahami soalPahami soal atau masalah yang diberikan, kemudian tentukanbeberapa hal berikut.a. Menyatakan soal ke dalam bahasa sendirib. Membuat diagram dari soal tersebutc. Menentukan apa fakta atau informasi yang diberikand. Menentukan apa yang ditanyakan, apa yang diminta untuk dicariatau dibuktikan2. Memilih pendekatan atau strategi pemecahanSetelah memahami soal, tentukanlah beberapa hal berikut.a. Memilih dan menggunakan pengetahuan aljabar yang diketahuib. Menentukan konsep yang relevanc. Menentukan atau memilih variabel yang terlibatd. Merumuskan model matematika atau kalimat matematika darimasalah
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN263. Menyelesaikan modelSetelah memilih strategi penyelesaian, tentukanlah beberapa halberikut.a. Tentukan jenis model matematikanyab. Lakukan operasi hitung atau operasi aljabar secarabenar untukmendapatkan solusi dari permasalahan yang diberikan4. Menafsirkan solusiSetelah solusi atau penyelesaian dari model matematika diperoleh,selanjutnya lakukan hal berikut ini.a. Periksalah kelayakan atau kebenaran jawaban atau masukakalnya jawabanb. Solusi dari penyelesaian model matematika diterjemahkan kedalam penyelesaian dari masalah semulaUntuk lebih memahamiperhatikan contoh berikut:Contoh 1:Sebuah pohon berjarak 100 meter dari seorang pengamat yang tingginya 170 cm. Apabila pucuk pohon tersebut dilihat pengamat dengan sudut elevasi 600, tentukanlah tinggi pohon tersebut.Penyelesaian:•Memahami soalDari soal dapat dibuatkan diagramnya sebagai berikut.•Dari soal diketahui bahwa:Jarak pengamat ke pohon = 100 mTinggi pengamat = 170 cm = 1,7 mSudut elevasi = 450Yang dicari tinggi pohon•Memilih pendekatan atau strategi pemecahanKonsep yang relevan dari soal di atas adalah perbandingan trigonometri.Dimisalkan bahwa t = tinggi pohon –tinggi pengamatx = jarak pengamat ke pohontan 450= 𝑡𝑥•MenyelesaikanmodelDenganmenggunakan operasi hitung, diperoleh:tan 450= 𝑡𝑥t = x tan 450 = 100 . 1 = 100•MenafsirkansolusiTinggipohon = t + tinggi pengamat= 100 m+ 1, 7 m = 101,7 mJadi, tinggi pohonnya adalah 101,7 m
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27Contoh 2:Seorangahli Biologi ingin mengetahui lebar sebuah sungai sehingga alat yang dipasang untuk mengetahui polutan dalam air sungai dapat diatur dengan baik. Jarak dari ahli Biologi berdiri pada tempat yang akan dipasang alat di titik A adalah 100 kaki dan sudut pandang pada alat di seberang sungai, yaitu di titik C sebesar 300(lihat gambar). Hitunglah lebar sungai tersebut.Gambar 3.8.10(Sumber:Larson, 2011)Penyelesaian:•Dari soal dapat dibuat diagramnya sebagai berikut:CA α = 300B100•Jarak dari pengamat pada alat yang dipasang adalah 100mkakiSudut elevasi 300Yang dicari lebar sungai.Dimisalkan lebar sungai AC.tan 𝛼=𝐴𝐶𝐴𝐵↔𝐴𝐶=𝐴𝐵.𝑡𝑎𝑛𝛼𝐴𝐶=100.𝑡𝑎𝑛300=100.13√3=1003√3Jadi lebar sungai adalah 1003√3kaki.C.Rangkuman1.DefinisiPerbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku1.sisi di depan sudut αsinus sisi miringac==2.sisi di samping sudut αcosinus sisi miringbc==3.sisi di depan sudut αtangen sisi di samping sudut αab==300acbCAB
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN284.sisi di samping sudut αco tangen sisi di depan sudut αba==5.sisi miring secan sisi di samping sudut αcb==6.sisi miring cossisi di depan sudut αcecana==2.Rangkuman Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut IstimewaBesar sudut o0o30o45o60o90osin o0121221231cos o1123122120tan o013313–cot o–311330sec o123322–cosec o–222331D.Latihan Soal Untuk meningkatkan pemahaman, cobaKalian kerjakan latihan soal berikut, kemudiancocokkan jawaban Kalian dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Jangan melihat kunci dulu sebelum Kalian mengerjakan.1.Segitiga ABC siku-sikudiC.ApabilasinA=0.5,tentukan:a.cosAdantanAb.secAdancotA2.Diketahuisegitiga ABC siku-siku di B, jika panjang AC adalah 8 cm, dan A = 30o.Hitunglah panjang AB dan BC.3.Seoranganak memandang sebuah pohon dengan sudut 600. Apabila jarak anak tersebut 60 meter dari pohon, tentukan tinggi pohon tersebut.4.Andimelihat sebuah sebuah menara dari jarak 150 meter dengan sudut elevasi 300. Jarak mata Andi dengan tanah 150 cm. Tentukan tinggi gedung tersebut!
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29Pembahasan Latihan Soal Pembelajaran2NoPembahasanSkor1.Diketahui sin A = 0,5 = 510=12.Perhatikan segitiga siku-siku berikut: C10 5B A Dengan menggunakan phytagoras maka:AB = √𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√102−52=√100−25=√75=5√3a.Cos A = 𝐴𝐵𝐴𝐶=5√310=12√3Tan A = 𝐵𝐶𝐴𝐵=55√3=1√3=13√3b.Sec A = 𝐴𝐶𝐴𝐵=105√3=2√3=23√3222222.Segitiga ABC siku-siku di B.AC = 8 cmA = 30oDicari Panjang BC dan Panjang ACSin 300= 𝐵𝐶𝐴𝐶BC = AC . Sin 300BC = 8. 12= 4 cmPanjang BC = 4 cmCos 300= 𝐴𝐵𝐴𝐶AB = AC. Cos 300AB = 8. 12√3= 4√3Jadi panjang AB adalah 4√3cm11111111113.Sudut elevasi anak dengan pohon 𝛽=600Jarak anak dengan pohon 60 mDicari tinggi pohon.Sketsa posisi anak dan pohon: C1𝛼Pembilangdan penyebut dikali √3
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30A B Dari gambar kita dapatkan cos 𝛽= 𝐴𝐵𝐴𝐶↔cos 600= 60𝐴𝐶AC = 60cos600= 6012=120Sin 600= 𝐵𝐶𝐴𝐶= 𝐵𝐶120BC = 120 x sin 600= 120 x 12√3= 60√3Jadi tinggi pohon adalah 60√3meter122221Sudut elevasi = 300Jarak Andi dengan Menara = 150 meterJarak mata Andi dengan tanah = 150 cmSketsa posisi Andi dengan menara: tan 300=𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐵𝐶150↔BC = 150 x tan 300BC = 150 x 13√3= 50√3Jadi tinggi menara = (50√3+ 1,5) meter112322Skor maksimum40Untuk mengetahui tingkat penguasaankalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. 150RumusTingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jikatingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran. E.Penilaian DiriBerilahtanda Vpada kolom “Ya” jika Kalian mampu dan “Tidak” jika belummampu memahami kemampuan berikut:No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudah memahami definisiperbandingan trigonometripada segitiga siku-siku2.Saya sudah dapat menghitung perbandingan trigonometripada segitiga siku-siku3.Saya sudah dapatmenggunakan perbandingan trigonometri dalam memecahkan masalah kontekstualCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka kaliandapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32EVALUASI1.Nyatakalah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran radiana.2400b.33002.Nyatakalah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran derajata.2𝜋3radb.7𝜋6rad3.Hitunglah nilai 𝑥pada gambar berikut ini.a.b.4.Apabila sin𝜃=35maka tentukanlah nilaidari (sin𝜃∙tan𝜃–12𝑡𝑎𝑛2𝜃).5.Seorangpilotpesawatmelihatpuncakgunungdariketinggian1200m.Apabilasudutdepresi (sudutlihatpilotterhadaparahmendatar)sebesar300,maka:a.Gambarkan sketsa puncak gunung, posisi pesawat dan ketinggian daritanahb.Tentukan jarak pesawat ke puncakgunung6.Dua anak mengamati puncak pohon dari tempat yang berseberangan seperti tampak pada gambar di bawah ini. Apabila anak pertama melihat dengan sudut elevasi 60° dan anak kedua dengan sudut elevasi 30° dan jarak kedua anak tersebut 200 m. Tentukan tinggi pohon tersebut!7.Sebuah tangga disandarkan pada suatu pohon kelapa yang batangnya lurus dan mempunyai buah siap panen. Sudut yang dibentuk oleh tangga itu dengan tanah 30060010𝑥3006002𝑥y
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33(horizontal) adalah 60. Jarak kaki tangga ke batang pohon kelapa hingga dapat meraih buah adalah 5 m, hitunglah jarak lintasan yang ditempuh seseorang untuk dapat mengambil buah pohon kelapa tersebut.8.Rangka bagian atas sebuah rumah akan dibuat hiasan berupa ornament ukir dari kayu jati seperti tampak pada gambar.2 mJika harga membuat ornament ukir Rp. 1.500.000,-per meter, berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk membuat orrnament pada rumah tersebut?300300300300
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN34Kunci Jawaban Evaluasi.No.UraianSkor1a.2400= 240 x 𝜋180rad = 43radb.3300= 330 x 𝜋180rad = 116𝜋rad552a.2𝜋3rad = 2.18003= 1200b.7𝜋6rad = 7.18006=7.300= 21005553a.Dimisalkan titik-titik sudut segitiga A, B, C dan D seperti tampak pada gambar.CyA D BDiketahui :∠BAC = 300AC = 10 BC = y∠BDC = 600 BD = xDicari x.Untuk menentukan x, perhatikan segitiga BDC.tan ∠BDC = 𝑦𝑥↔tan 600= 𝑦𝑥Untuk bisa menentukan nilai x maka harus diketahui nilai y.Perhatikan segitiga ABC, maka berlaku:sin∠BAC=𝑦10sin300=𝑦1012=𝑦102𝑦=10⇒𝑦=5b.Dimisalkan titik-titik sudut segitiga adalah P, Q, R dan S seperti tampak pada gambar.1126130060010𝑥tan600=𝑦𝑥√3=5𝑥𝑥=5√3×√3√3=5√33
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35RyP S Q∠RPQ = ∠RPS = 600∠RQP = ∠RQS = 300PS = 2RS = yDicari x.Untuk menentukan nilai x perhatikan segitiga RQS.Sin ∠RQS = sin 300= 𝑅𝑆𝑅𝑄=𝑅𝑆𝑥↔x = 𝑅𝑆sin300=𝑦12=2𝑦Perhatikan segitiga PSRtan∠RPS=𝑦2tan600=𝑦2√3=𝑦2𝑦=2√31264Diketahui sin𝜃=35Dari gambar kita dapatkan AB = √𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√52−32=√25−9=√16=4C5 3A 𝜃B4Dicari: (sin𝜃∙tan𝜃–12𝑡𝑎𝑛2𝜃)tan 𝜃= 𝐵𝐶𝐵𝐴=34sin𝜃∙tan𝜃–12𝑡𝑎𝑛2𝜃=35.34−12(34)2=920−12.916=11201816=112098=1120𝑥892233223006002𝑥sin300=𝑦𝑥12=2√3𝑥𝑥=2.2√3=4√3
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36=224515Misalkan titik P posisi pesawat dan titik Q puncak gunung.P. R 3001200 mQ Jarak pesawat ke puncak gunung = PQ.Sin ∠QPR = 𝑄𝑅𝑃𝑄↔sin300=1200𝑃𝑄PQ = 1200sin300= 120012= 1200 x 2 (pembilang dan penyebut dikalikan 2)PQ = 2400 m22426Misalkan posisi anak pertama A, posisi anak ke dua B dan puncak pohon C. Jarak anak pertama dengan pohon x.Perhatikan gambar berikut:Cy600300A x D 200 -x B∠CAD = 600AD = x, CD = y∠CBD = 300 BD = 200 –xDicari tinggi pohon = yPerhatikan segitiga ADC.tan ∠CAD = 𝑦𝑥↔y = x.tan ∠CAD =x. tan 600.....................1)Pada segitiga CBDtan ∠CBD= 𝐶𝐷𝐵𝐷=𝑦200−𝑥↔𝑦=(200−𝑥).tan300............2)Dari persamaan 1) dan 2) didapat:X tan 600= (200 –x).tan 300X .√3= (200 –x) 13√3x. 3 = (200 –x) .13.3 (Kedua ruas dikalikan √3)3x = 200 –x4x = 200 ↔x = 50Subtitusikan x = 50 pada persamaan 1)y = 50. tan 300= 50.13√3y = 503√3Jadi tinggi pohon adalah 503√3meter.1122111111111
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN373003006006007CA α = 600B5cos𝜶=𝑨𝑩𝑩𝑪↔𝑩𝑪=𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜶=𝟓𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝟎=𝟓𝟏𝟐=𝟏𝟎Jadi jarak lintasan yang ditempuh untuk mengambil pohon kelapa adalah 10 m1318DCX 2mA BSudut puncak rangka = 1800–300–300= 1200Perhatikan segitiga ABD:AD = 𝐵𝐷sin300= 212=4DC = BD.cos 600 = 2. 12= 1AC = X = 4 –1 = 3Panjang ornament ukir yang akan dibuat = 3 + 3 = 6 mBiaya yang harus dikeluarkan untuk membuat ornament adalah ukir = 6 x Rp. 1.500.000,-= Rp. 9.000.000,-323232Skor Maksimum100
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.7@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN38DAFTAR PUSTAKAKemdikbud. 2014. Matematika Kelas XI. Jakarta : Puskurbuk.Kemdikbud. 2019. Paket Unit Pembelajaran Matematika Trigonometri. Jakarta. Dirjen Guru dan Tenaga Kependidikan. Kementerian Pendidikan Nasional.Larson, Ron. 2011. Trygonometry. Australia: Brooks.Markaban. 2009. Trigonometri. Yogyakarta. PPPPTK Matematika.